用空间向量搞定立体几何14分

高考第19题通常考查立体几何,这14分运用向量法可以轻松全收。如果已经了解向量运算,就请往下读:

解任何立体几何题,需要先确定一个坐标系。 如果题目没有特别要求,尽量使各点坐标易于表述。 一般来说要选符合“右手系”规范的空间直角坐标系。 建立时特别注意直角问题,不要被题目的图示迷惑而把非直角当直角。

建立坐标系后,正确写出各点坐标。 对未知点,用字母表示,尽可能减少字母数量,能消去务必消去。

一、平行、垂直关系的证明

线线平行 ⇔ |a⃑×b⃑|=0

线线垂直 ⇔ a⃑⋅b⃑=0

线面平行、面面平行: 转化为线线平行,或用三向量共面

线面垂直: a⃑⟂b⃑、c⃑所在平面 ⇔ a⃑⟂b⃑∧a⃑⟂c⃑ ,或用 a⃑∥b⃑×c⃑

面面垂直: 转化为线面垂直

二、夹角的求值

线线夹角: cos(a⃑,b⃑)=(a⃑⋅b⃑)/(|a⃑|⋅|b⃑|) 或 sin(a⃑,b⃑)=|a⃑×b⃑|/(|a⃑|⋅|b⃑|) 注意0⩽𝜃⩽𝜋,否则可取补角

线面夹角: b⃑、c⃑所在平面的法向量n⃑=b⃑×c⃑,求出a⃑与n⃑的夹角,取余角就是了,同样注意0⩽𝜃⩽𝜋

面面夹角: 射影面积法

三、距离的求值

点线距离: 设一个过该点与该线垂直的向量,求其模

点面距离: 如求平面外一点P到平面ABC距离,可求法向量n⃑=ĀB⃑×ĀC⃑,再求单位法向量(模为1)n̄₀⃑=(1/|n⃑|)⋅n⃑,P到平面距离就是|ĀP⃑⋅n̄₀⃑|

四、面积、体积的求值

以a⃑、b⃑为邻边的 S三角形=1/2⋅|a⃑×b⃑| S平行四边形=|a⃑×b⃑|

以a⃑、b⃑、c⃑为同点出发三边的 V三棱锥(四面体)=1/6⋅a⃑×(b⃑×c⃑) V平行六面体=a⃑×(b⃑×c⃑)

对于坐标含字母的,同样可以利用这些方法列方程解出字母所代表的数值,获得坐标值。 以上涵盖了大部分试题的考查内容。

最后附注一点,上述a⃑×b⃑是失性积,超出大纲,但运用它解题更容易。 其定义是:设a⃑={a₁,a₂,a₃} b⃑={b₁,b₂,b₃} a⃑×b⃑={a₂b₃-a₃b₂,a₃b₁-a₁b₃,a₁b₂-a₂b₁}。 失性积是向量,且这种运算没有交换律,即a⃑×b⃑≠b⃑×a⃑(只有a⃑=b⃑时等于)。

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